黑洞里面有什么

天上的星星并不是均匀分布的，而是分成群落、组成图案。

星星为什么闪烁？

实际上大多数星星只会发出稳定的光线。之所以发生闪烁是因为大气层—覆盖在地球表面的空气层的变化。大气层的某些部分是不断运动的，而且某些地方的空气比其他地方密度高，空气的这些差异对来自星星的光线产生了影响，使它们看起来摇曳不定。

天文学家将天空划分为88个不同的星座，在赤道上可以看到全部星座。

看见过去

当遥望群星时，我们其实是在做一件非常奇特的事情—我们正在时间中回望，星星，例如作为猎户座一部分的参宿⑦，距离地球大约900光年，当我们在天空中看到参宿⑦时，我们看见的光已经离开那颗星星900年了。

恒星的寿命

一颗超巨星将在几百万年内燃尽自己的燃料。而作为黄矮星的太阳，能够维持50-100亿年，而一颗红矮星可以闪耀1000亿年。

超巨星在超新星爆发中死去，爆炸只留下一个体积微小而又重的不可思议的中子星，一颗中子星的直径大约只有10km长，但是其质量比太阳还大。

##脉冲星

旋转的中子星

黑洞

大质量恒星爆炸时，星体的中央塌缩为一个微小的物质点，但是这个物质点比太阳还重，即黑洞。

地球

太阳和地球是一个被称为银河的巨大星系的一部分，这个星系的直径约为10万光年，容纳着1000亿颗左右的恒星。

在我们星系的中央，存在一个重量相当于350万个太阳的大质量黑洞，它的事件视界大约为22万千米，在1974年首次发现。

类星体

类似于恒星的天体，指某种看起来像恒星又不像恒星的天体，特点是比任何其他物体都亮。

天文学家认为类星体是一些中央存在大质量黑洞的星系。

来自类星体的光比来自恒星的光更红。（红移）

红移是由于多普勒效应导致的，这意味着星系离我们正远去。离我们越远的星系移动得越快，不过在类星体中，红移比在其他任何星系都强。

多普勒效应：

• 向你移动：蓝光
• 离你远去：红光

事件视界

黑洞并非把它周围的任何物体都吸进去，只有在事件视界之内的物体才会被吸进去。事件视界是一个与黑洞质量有关的量。

黑洞的影响

一颗行星例如地球对时空的影响只造成一点弯曲；

一颗恒星造成的弯曲会多一些；

而一颗黑洞会在时空上留下一个窟窿；

走进洞内

当我们从地球、太阳进入黑洞时，由于受到引力的增大，运动的速度也越来越快，直到黑洞把我们撕碎。

洞外观察

与我们自身相反，观察者会发现我们进入黑洞后，速度越来越慢，主要是由于光进入黑洞后由于引力而变慢，要花更多的时间才能到达看你的人。

宇宙大爆炸

大约150亿年前

背景辐射

早在恒星和星系形成以前，空间中熊熊燃烧的炽热白光所留下的微弱的回声。

暗物质

• 天文学家：不能发光的普通大质量物体，例如大行星、棕矮星；
• 物理学家：由比原子更小的微小粒子组成的，微小粒子可能是WIMP（弱相互作用大质量粒子）和中微子。

清晨8问

• 我今天的目标是什么？
• 我的人生终极目标是什么？
• 今天最重要的一件事情是什么？
• 我今天如何和周围的人相处？
• 我今天要学那些新知识？
• 我今天要有怎样的心情？
• 我今天怎么比昨天过得更好？
• 我应该对什么心存感激？

夜晚8思

• 我今天是否完成了我的小目标？
• 我离我的大目标又更近一步了吗？
• 今天发生的一切对我有什么好处？
• 我如何才能活得更好？
• 今天我做事情竭尽所能了吗？
• 我明天的目标是什么？
• 我对生活中还有那些不满？
• 我应该为什么感到自豪？

８大自我提醒

• 人是为梦想而活，不是为金钱和名利而活。
• 你的内心改变了你的世界也就改变了。
• 永远不要放弃对成功的追求！
• 要让事情变好先让自己变好。
• 山不过来我就过去。
• 失败是从你放弃开始的！
• 要认真要快要全力以赴！
• 我对我生命完全负责!

８大生活信念

• 我是最棒的，我一定能成功！
• 成功是应为态度。
• 我要，我就能。
• 过去不等于未来。
• 不是不可能，只是暂时没找到方法。
• 成功者找方法，失败者找借口。
• 坚持到底永不放弃。
• 立即行动。

采样定理

对连续时间信号$x_a(t)$以间隔T对它进行等间隔采样，得到的采样信号$\hat{x}{\mathrm{a}}(t)$的频谱$\hat{X}{\mathrm{a}}(\mathrm{j} \Omega)$是原模拟信号$x_a(t)$的频谱 $X_a(j\Omega)$ 以 $\Omega_s(\Omega_s=2\pi f)_s$为周期进行周期延拓而成的。

设连续时间信号$x_a(t)$是一个带限模拟信号，其频谱的最高频率为 $f_c$，上述采样信号$\hat{x}_a(t)$只有在采样频率 $f_s(f_s=1/T)≥2 f_c$时，才可不失真地恢复$x_a(t)$，否则会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原模拟信号。一般称 $f_s/2$为折叠频率，只要信号的最高频率不超过该频率，就不会出现频谱混叠现象，否则超过 $f_s/2$的频谱会“折叠”回来形成混叠现象。

通常把最低允许的采样频率 $f_s=2f_c$称为奈奎斯特（Nyquist）频率，最大允许的采样间隔T称为奈奎斯特间隔。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

快速傅里叶变换

有限长度序列的离散傅里叶变换实现了对序列傅里叶变换的频率域采样，从而实现了信号在频域的离散化。

但是其计算复杂度为$N^{2}$，随着N的增加，计算负载度会急剧增多，比如在N=1024时，需要完成一百多万次的运算。

此时就需要找到一些可以减小计算量的方法，最简单的可以通过把N个序列，分为M份，直接可以减低计算量，只需要在组合的时候进行一些操作即可。

而考虑到离散傅里叶变换的对称性、周期性，可以有一些通用的方法可以进行简化。详细的可以参考1965年库利和图基的《An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series》开创性的工作。

后面推进数字信号快速发展并得到应用的即为快速傅里叶变换。

在对序列本身进行处理的过程中，有不同的FFT算法，有基于时间的基于频率的。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

Z变换

在离散时间傅里叶分析中，将复指数信号$e^{j \omega n}$作为基本信号单元。
然而，对于不满足绝对可和的信号，其傅里叶变换不存在，无法实现对其的频域分析。
若把复指数信号$e^{j \omega n}$扩展为信号$z^n（z=re^{j\omega}）$，就有可能对其进行复频域分析，此时就得到信号的Z变换，显然，Z变换是离散时间傅里叶变换的推广，离散时间傅里叶变换是Z变换的特例。

在求解系统的差分方程时，如果系统的起始状态为0，而且激励信号是因果系统，则可以用单边或者双边Z变换来求解；
如果系统起始状态不为0，或者激励信号不是因果信号，则只能用单边Z变换来求解。

零输入响应由系统起始状态确定，而与系统激励无关；
零状态响应由系统激励信号确定，而与系统起始状态无关；
完全响应等于零输入响应及零状态响应之和。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

相关 与 卷积

卷积可以通过下面几个步骤完成：
①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行反转，形成h(−m)；
②将h(−m)移位n，得到h(n−m)，当n>0时，序列右移，n<0时，序列左移；
③将x(m)和h(n−m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。这样就得到当前n样本点位置处的输出y(n)。

所以卷积运算中的主要运算是反转、移位、相乘和相加，此类卷积又称为线性卷积。

对于两个序列x(n)和h(n)，若它们的非零值长度分别是N和M，则卷积结果y(n)=x(n)*h(n)的非零值长度为M +N−1。

相关

相关函数反映了信号之间的相似程度。

卷积

卷积是表示线性时不变系统的输入、输出和单位脉冲响应之间的一个基本关系。

性质如下：

• 交换律
• 分配律
• 结合律
• 平移特性
• 展缩特性

对于卷积的计算方法主要有图解法、解析法、不进位乘法、矩阵表示方法和Z变换方法。

平移特性

已知 $f_1(t) \ast f_2(t) =y(t)$，则 $f_1(t-t_1) \ast f_2(t-t_2) =y(t-t_1-t_2)$

证明：

$f_1(t-t_1) \ast (t-t_2)$ =

展缩特性

已知 $f_1(t) \ast f_2(t) =y(t)$，则 $f_1(at) \ast f_2(at) =\frac{1}{|a|}y(at)$

证明：

卷积 和 相关的关系

相关的函数定义：

$r_{x y}(m)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) y(n+m)$

卷积的函数定义：

$g(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m) y(n-m)$

卷积是表示线性时不变系统的输入、输出和单位脉冲响应之间的一个基本关系；
相关是表示两信号之间的相关性，与系统无关。

计算x(n)和y(n)的互相关时，两个序列都不反转，只是将y(n)在时间轴上移位后与x(n)对应相乘再相加即可；
而计算二者卷积时，需要先将一个序列反转后再移位，为了要用卷积表示相关，则需要将其中一个序列先反转一次，作卷积时会再反转一次，这样两次反转相抵消，相当于没有进行反转。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。但是它的致命缺点是：计算量太大，时间复杂度太高，当采样点数太高的时候，计算缓慢，由此出现了DFT的快速实现，即下面的快速傅里叶变换FFT。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

傅里叶变换

在对信号、系统进行频域分析过程中，傅里叶变换起着非常重要的作用。

首先可以通过对信号的频谱分析，来掌握信号的特征，以进一步确定处理信号的方法，从而实现信号的检测和估计，在通信、语音与图像处理、雷达等工程领域得到广泛的应用；
另外还可以通过对系统单位脉冲响应的频谱分析得到系统的频率响应，从而得到输入信号通过系统后的幅度和相位的变化，从而确定系统的性质，在滤波器设计有重要的应用。

非周期连续时间信号傅里叶变换

傅里叶变换为：

$X_{\mathrm{a}}(\mathrm{j} \Omega)=\sum^{+\infty} x_{\mathrm{a}}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} t$

傅里叶逆变换为：

$x_{\mathrm{a}}(t)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{-\infty}^{+\infty} X_{\mathrm{a}}(j \Omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} \Omega$

周期连续时间信号傅里叶级数

傅里叶级数：

$X\left(\mathrm{j} k \Omega_{0}\right)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \tilde{x}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k \Omega_{0} t} \mathrm{d} t$

傅里叶逆级数：

$\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j k \Omega_{0}\right) e^{\mathrm{j} k \Omega_{0} t}$

非周期序列的离散时间傅里叶变换

傅里叶变换：

$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$

傅里叶逆变换：

$x(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{d} \omega$

周期序列的傅里叶级数

对一个周期序列而言，它的一个周期的信号其实包含着原始周期序列的全部信息，也就是只要研究一个周期内的信号的信号，整个信号的性质也就知道了。

$\begin{aligned}
&\tilde{X}(k)=\operatorname{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
&\tilde{x}(n)=\operatorname{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) \mathrm{e}^{j \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$

频域混叠现象

对实际信号进行采样时，为了使采样信号不发生频域混叠现象，要求采样满足时域采样定理，即采样频率 fs(=1 T)大于或等于信号所含最高频率 fh的2倍

频谱泄露

由于信号本身无限长，因此其理想采样信号也为无限长序列，故需要对其进行截断处理，即相当于将理想采样序列与矩形序列相乘，其对应的频域应为两序列傅里叶变换的卷积。
对信号进行截断处理，等价于在一个有限长矩形窗内看原始信号，因此称截断处理为加窗处理，这种处理不可避免地会产生频谱泄漏现象。为减小频谱泄漏，应尽可能减小旁瓣，为此需要寻找其他的具有较小旁瓣的窗函数来替代矩形序列（或称为矩形窗），其中，可用的窗函数包括有汉明窗（Hamming）、汉宁窗（Hanning）、三角窗等。

有效带宽即信号带宽，是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。

一个信号时域的能力等于频域的能力，满足时域频域能力守恒，即为帕斯瓦尔定理Parseval Theorem。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

奇异函数 - 冲激信号

单位冲激函数δ的基本特性

• $\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta\left(t-t_{0}\right) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty} x\left(t+t_{0}\right) \delta(t) \mathrm{d} t=x\left(t_{0}\right)$
• $\delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t)$
• $x(t) \delta\left(t-t_{0}\right)=x\left(t_{0}\right) \delta\left(t-t_{0}\right)$
• $x(t) * \delta\left(t-t_{0}\right)=x\left(t-t_{0}\right)$
• $\delta\left(t-t_{1}\right) * \delta\left(t-t_{2}\right)=\delta\left(t-t_{1}-t_{2}\right)$
• $\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}=\delta(t)$

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

系统的频域分析

传输函数与系统函数

$H(e^{jω})$称为系统的传输函数（或系统频率响应函数），它表征系统的频率特性；
$H(z)$称为系统的系统函数，它表征系统的复频率特性。

如果$H(z)$的收敛域包含单位圆z=1，则$H(z)$与$H(e^{jω})$的关系如下所示：

$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H(z)\right|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j\omega}}}$

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system