信号与系统公式集锦

	连续傅里叶变换	连续拉普拉斯变换（单边）	离散Z变换（单边）	离散傅里叶变换
	时域到频域	时域到复频域 $s=\sigma + j \omega$	离散化 $z = e^{s}$	四种组合形式
	$F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t$	$F(s)=\int_{0_{-}}^{\infty} x(t) e^{-s t} d t$	$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n}$	$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jwn}$
	$ x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j w t} d \omega$	$x(t)=\frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma-j \infty}^{\sigma+j \infty} F(s) e^{s t} d s $	$x(n)=\frac{1}{2 \pi j} \oint X(z) z^{n-1} d z$	$x(n)=\frac{1}{2\pi} \int X(e^{jw}) e^{jwn} dw$
1	$2\pi \delta(w)$
冲激$\delta(t)$		1
阶跃$u(t)$		$\frac{1}{s}$
$e^{jw_0t}$	$2\pi \delta(w-w_0)$
$e^{-jw_0t}$	$2\pi \delta(w+w_0)$
$e^{-at}$		$\frac{1}{s+a}$
$t^{n}$		$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$sin(wt)$	$j\pi [\delta (w+w_0) - \delta (w-w_0)]$	$\frac{w}{s^{2}+w^{2}}$
$cos(wt)$	$\pi [\delta (w+w_0) + \delta (w-w_0)]$	$\frac{s}{s^{2}+w^{2}}$
$e^{-at}sin(wt)$		$\frac{w}{(s+a)^{2}+w^{2}}$
$e^{-at}cos(wt)$		$\frac{s+a}{(s+a)^{2}+w^{2}}$
$te^{-at}$		$\frac{1}{(s+a)^{2}}$
$t^{n}e^{-at}$		$\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$
$tsin(wt)$		$\frac{2ws}{(s^{2}+w^{2})^2}$
$tsin(wt)$		$\frac{s^2-w^2}{(s^{2}+w^{2})^2}$
时域卷积$f(t)\ast g(t)$	$F(w) \times G(w)$
时域乘积$f(t)\times g(t)$	$\frac{1}{2\pi}F(w) \times G(w)$

性质

性质	时域	傅里叶变换
对称性	$F(t)$	$2\pi f(-w)$