在离散时间傅里叶分析中，将复指数信号$e^{j \omega n}$作为基本信号单元。
然而，对于不满足绝对可和的信号，其傅里叶变换不存在，无法实现对其的频域分析。
若把复指数信号$e^{j \omega n}$扩展为信号$z^n（z=re^{j\omega}）$，就有可能对其进行复频域分析，此时就得到信号的Z变换，显然，Z变换是离散时间傅里叶变换的推广，离散时间傅里叶变换是Z变换的特例。
在求解系统的差分方程时，如果系统的起始状态为0，而且激励信号是因果系统，则可以用单边或者双边Z变换来求解；
如果系统起始状态不为0，或者激励信号不是因果信号，则只能用单边Z变换来求解。
零输入响应由系统起始状态确定，而与系统激励无关；
零状态响应由系统激励信号确定，而与系统起始状态无关；
完全响应等于零输入响应及零状态响应之和。
卷积可以通过下面几个步骤完成：
①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行反转，形成h(−m)；
②将h(−m)移位n，得到h(n−m)，当n>0时，序列右移，n<0时，序列左移；
③将x(m)和h(n−m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。这样就得到当前n样本点位置处的输出y(n)。
所以卷积运算中的主要运算是反转、移位、相乘和相加，此类卷积又称为线性卷积。
对于两个序列x(n)和h(n)，若它们的非零值长度分别是N和M，则卷积结果y(n)=x(n)*h(n)的非零值长度为M +N−1。
相关函数反映了信号之间的相似程度。
卷积是表示线性时不变系统的输入、输出和单位脉冲响应之间的一个基本关系。
性质如下：
对于卷积的计算方法主要有图解法、解析法、不进位乘法、矩阵表示方法和Z变换方法。
已知 $f_1(t) \ast f_2(t) =y(t)$，则 $f_1(t-t_1) \ast f_2(t-t_2) =y(t-t_1-t_2)$
证明：
$f_1(t-t_1) \ast (t-t_2)$ =
已知 $f_1(t) \ast f_2(t) =y(t)$，则 $f_1(at) \ast f_2(at) =\frac{1}{|a|}y(at)$
证明：
相关的函数定义：
$r_{x y}(m)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) y(n+m)$
卷积的函数定义：
$g(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m) y(n-m)$
卷积是表示线性时不变系统的输入、输出和单位脉冲响应之间的一个基本关系；
相关是表示两信号之间的相关性，与系统无关。
计算x(n)和y(n)的互相关时，两个序列都不反转，只是将y(n)在时间轴上移位后与x(n)对应相乘再相加即可；
而计算二者卷积时，需要先将一个序列反转后再移位，为了要用卷积表示相关，则需要将其中一个序列先反转一次，作卷积时会再反转一次，这样两次反转相抵消，相当于没有进行反转。
在对信号、系统进行频域分析过程中，傅里叶变换起着非常重要的作用。
首先可以通过对信号的频谱分析，来掌握信号的特征，以进一步确定处理信号的方法，从而实现信号的检测和估计，在通信、语音与图像处理、雷达等工程领域得到广泛的应用；
另外还可以通过对系统单位脉冲响应的频谱分析得到系统的频率响应，从而得到输入信号通过系统后的幅度和相位的变化，从而确定系统的性质，在滤波器设计有重要的应用。
傅里叶变换为：
$X_{\mathrm{a}}(\mathrm{j} \Omega)=\sum^{+\infty} x_{\mathrm{a}}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} t$
傅里叶逆变换为：
$x_{\mathrm{a}}(t)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{-\infty}^{+\infty} X_{\mathrm{a}}(j \Omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} \Omega$
傅里叶级数：
$X\left(\mathrm{j} k \Omega_{0}\right)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \tilde{x}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k \Omega_{0} t} \mathrm{d} t$
傅里叶逆级数：
$\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j k \Omega_{0}\right) e^{\mathrm{j} k \Omega_{0} t}$
傅里叶变换：
$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$
傅里叶逆变换：
$x(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{d} \omega$
对一个周期序列而言，它的一个周期的信号其实包含着原始周期序列的全部信息，也就是只要研究一个周期内的信号的信号，整个信号的性质也就知道了。
$\begin{aligned}
&\tilde{X}(k)=\operatorname{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
&\tilde{x}(n)=\operatorname{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) \mathrm{e}^{j \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$
对实际信号进行采样时，为了使采样信号不发生频域混叠现象，要求采样满足时域采样定理，即采样频率 fs(=1 T)大于或等于信号所含最高频率 fh的2倍
由于信号本身无限长，因此其理想采样信号也为无限长序列，故需要对其进行截断处理，即相当于将理想采样序列与矩形序列相乘，其对应的频域应为两序列傅里叶变换的卷积。
对信号进行截断处理，等价于在一个有限长矩形窗内看原始信号，因此称截断处理为加窗处理，这种处理不可避免地会产生频谱泄漏现象。为减小频谱泄漏，应尽可能减小旁瓣，为此需要寻找其他的具有较小旁瓣的窗函数来替代矩形序列（或称为矩形窗），其中，可用的窗函数包括有汉明窗（Hamming）、汉宁窗（Hanning）、三角窗等。
有效带宽即信号带宽，是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。
一个信号时域的能力等于频域的能力，满足时域频域能力守恒，即为帕斯瓦尔定理Parseval Theorem。
在对模拟信号与系统进行时域分析时，信号用连续时间函数表示，系统则用微分方程描述；
在进行频域分析时，往往采用傅里叶变换或拉普拉斯变换方法。
Z变换在离散时间信号与LTI系统分析中扮演的作用，
正如拉普拉斯变换在连续时间信号与LTI系统分析中扮演的作用一样。
单位采样序列Unit Sample Sequence，表示为$\delta(n)$，定义如下所示：
$\delta(n)=\left{\begin{array}{ll}
{1,} & {n=0} \
{0,} & {n \neq 0}
\end{array}\right.$
即单位采样序列除了在n=0处的值为1外，其他处的值均为0，也称其为单位脉冲序列。
单位阶跃序列Unit Step Sequence，表示为$u(n)$，定义如下所示：
$u(n)=\left{\begin{array}{ll}
{1,} & {n=0} \
{0,} & {n \neq 0}
\end{array}\right.$
$u(n-m)$在n>=m时值为1，取其他值时为0。
由上图可以知道，单位采样序列和单位阶跃序列的关系为：
$\delta(n)=u(n)-u(n-1)$
$u(n)=\sum_{l=0}^{\infty} \delta(n-l)$
只有其中一部分为1，其他部分全部为0，如下图所示：
指数的底数在大于1时为发散序列，小于1时为收敛序列
$x(n)=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n}=\cos (\omega n)+\mathrm{i} \sin (\omega n)$
根据欧拉公式可知，复指数序列具有以2$\pi$为周期的周期性。
如果对所有的n，存在一个最小的正整数N，使关系式x(n)=x(n+N)成立，则称x(n)是周期为N的周期序列（Periodic Sequence），周期信号也可记为。
包括：
设系统的输入为序列x(n)，经过运算或变换得到一个输出序列y(n)，这个运算或者变换就是离散时间系统（Discrete time System）。
若
$x(t) -> y(t)$，
则
$kx(t) -> ky(t)$
若
$x_1(t) -> y_1(t), x_1(t) -> y_1(t)$，
则
$x_1(t) + x_2(t) -> y_1(t) + y_2(t)$
满足叠加性和齐次性。
若
$x_1(t) -> y_1(t), x_1(t) -> y_1(t)$，
则
$k_1x_1(t) + x2(t) -> y_1(t) + y_2(t)$
如果系统的输出相应随输入的移位而移位，即为时不变系统。
若
$x(t) -> y(t)$，
则
$x(t-t_0) -> y(t-t_0)$
指系统的响应不应该出现在激励之前，只对自变量是时间的系统有意义。
| 连续傅里叶变换 | 连续拉普拉斯变换（单边 ） | 离散Z变换（单边） | 离散傅里叶变换 | |
|---|---|---|---|---|
| 时域到频域 | 时域到复频域 $s=\sigma + j \omega$ | 离散化 $z = e^{s}$ | 四种组合形式 | |
| $F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t$ | $F(s)=\int_{0_{-}}^{\infty} x(t) e^{-s t} d t$ | $X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n}$ | $X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jwn}$ | |
| $ x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j w t} d \omega$ | $x(t)=\frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma-j \infty}^{\sigma+j \infty} F(s) e^{s t} d s $ | $x(n)=\frac{1}{2 \pi j} \oint X(z) z^{n-1} d z$ | $x(n)=\frac{1}{2\pi} \int X(e^{jw}) e^{jwn} dw$ | |
| 1 | $2\pi \delta(w)$ | |||
| 冲激$\delta(t)$ | 1 | |||
| 阶跃$u(t)$ | $\frac{1}{s}$ | |||
| $e^{jw_0t}$ | $2\pi \delta(w-w_0)$ | |||
| $e^{-jw_0t}$ | $2\pi \delta(w+w_0)$ | |||
| $e^{-at}$ | $\frac{1}{s+a}$ | |||
| $t^{n}$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | |||
| $sin(wt)$ | $j\pi [\delta (w+w_0) - \delta (w-w_0)]$ | $\frac{w}{s^{2}+w^{2}}$ | ||
| $cos(wt)$ | $\pi [\delta (w+w_0) + \delta (w-w_0)]$ | $\frac{s}{s^{2}+w^{2}}$ | ||
| $e^{-at}sin(wt)$ | $\frac{w}{(s+a)^{2}+w^{2}}$ | |||
| $e^{-at}cos(wt)$ | $\frac{s+a}{(s+a)^{2}+w^{2}}$ | |||
| $te^{-at}$ | $\frac{1}{(s+a)^{2}}$ | |||
| $t^{n}e^{-at}$ | $\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$ | |||
| $tsin(wt)$ | $\frac{2ws}{(s^{2}+w^{2})^2}$ | |||
| $tsin(wt)$ | $\frac{s^2-w^2}{(s^{2}+w^{2})^2}$ | |||
| 时域卷积$f(t)\ast g(t)$ | $F(w) \times G(w)$ | |||
| 时域乘积$f(t)\times g(t)$ | $\frac{1}{2\pi}F(w) \times G(w)$ | |||
| 性质 | 时域 | 傅里叶变换 | ||
|---|---|---|---|---|
| 对称性 | $F(t)$ | $2\pi f(-w)$ |