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工作和生活中的七七八八

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相关 与 卷积

卷积可以通过下面几个步骤完成：
①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行反转，形成h(−m)；
②将h(−m)移位n，得到h(n−m)，当n>0时，序列右移，n<0时，序列左移；
③将x(m)和h(n−m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。这样就得到当前n样本点位置处的输出y(n)。

所以卷积运算中的主要运算是反转、移位、相乘和相加，此类卷积又称为线性卷积。

对于两个序列x(n)和h(n)，若它们的非零值长度分别是N和M，则卷积结果y(n)=x(n)*h(n)的非零值长度为M +N−1。

相关

相关函数反映了信号之间的相似程度。

卷积

卷积是表示线性时不变系统的输入、输出和单位脉冲响应之间的一个基本关系。

性质如下：

  • 交换律
  • 分配律
  • 结合律
  • 平移特性
  • 展缩特性

对于卷积的计算方法主要有图解法、解析法、不进位乘法、矩阵表示方法和Z变换方法。

平移特性

已知 $f_1(t) \ast f_2(t) =y(t)$，则 $f_1(t-t_1) \ast f_2(t-t_2) =y(t-t_1-t_2)$

证明：

$f_1(t-t_1) \ast (t-t_2)$ =

展缩特性

已知 $f_1(t) \ast f_2(t) =y(t)$，则 $f_1(at) \ast f_2(at) =\frac{1}{|a|}y(at)$

证明：

卷积 和 相关的关系

相关的函数定义：

$r_{x y}(m)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) y(n+m)$

卷积的函数定义：

$g(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m) y(n-m)$

卷积是表示线性时不变系统的输入、输出和单位脉冲响应之间的一个基本关系；
相关是表示两信号之间的相关性，与系统无关。

计算x(n)和y(n)的互相关时，两个序列都不反转，只是将y(n)在时间轴上移位后与x(n)对应相乘再相加即可；
而计算二者卷积时，需要先将一个序列反转后再移位，为了要用卷积表示相关，则需要将其中一个序列先反转一次，作卷积时会再反转一次，这样两次反转相抵消，相当于没有进行反转。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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离散傅里叶变换

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。但是它的致命缺点是：计算量太大，时间复杂度太高，当采样点数太高的时候，计算缓慢，由此出现了DFT的快速实现，即下面的快速傅里叶变换FFT。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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傅里叶变换

在对信号、系统进行频域分析过程中，傅里叶变换起着非常重要的作用。

首先可以通过对信号的频谱分析，来掌握信号的特征，以进一步确定处理信号的方法，从而实现信号的检测和估计，在通信、语音与图像处理、雷达等工程领域得到广泛的应用；
另外还可以通过对系统单位脉冲响应的频谱分析得到系统的频率响应，从而得到输入信号通过系统后的幅度和相位的变化，从而确定系统的性质，在滤波器设计有重要的应用。

非周期连续时间信号傅里叶变换

傅里叶变换为：

$X_{\mathrm{a}}(\mathrm{j} \Omega)=\sum^{+\infty} x_{\mathrm{a}}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} t$

傅里叶逆变换为：

$x_{\mathrm{a}}(t)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{-\infty}^{+\infty} X_{\mathrm{a}}(j \Omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} \Omega$

周期连续时间信号傅里叶级数

傅里叶级数：

$X\left(\mathrm{j} k \Omega_{0}\right)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \tilde{x}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k \Omega_{0} t} \mathrm{d} t$

傅里叶逆级数：

$\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j k \Omega_{0}\right) e^{\mathrm{j} k \Omega_{0} t}$

非周期序列的离散时间傅里叶变换

傅里叶变换：

$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$

傅里叶逆变换：

$x(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{d} \omega$

周期序列的傅里叶级数

对一个周期序列而言，它的一个周期的信号其实包含着原始周期序列的全部信息，也就是只要研究一个周期内的信号的信号，整个信号的性质也就知道了。

$\begin{aligned}
&\tilde{X}(k)=\operatorname{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
&\tilde{x}(n)=\operatorname{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) \mathrm{e}^{j \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$

频域混叠现象

对实际信号进行采样时，为了使采样信号不发生频域混叠现象，要求采样满足时域采样定理，即采样频率 fs(=1 T)大于或等于信号所含最高频率 fh的2倍

频谱泄露

由于信号本身无限长，因此其理想采样信号也为无限长序列，故需要对其进行截断处理，即相当于将理想采样序列与矩形序列相乘，其对应的频域应为两序列傅里叶变换的卷积。
对信号进行截断处理，等价于在一个有限长矩形窗内看原始信号，因此称截断处理为加窗处理，这种处理不可避免地会产生频谱泄漏现象。为减小频谱泄漏，应尽可能减小旁瓣，为此需要寻找其他的具有较小旁瓣的窗函数来替代矩形序列（或称为矩形窗），其中，可用的窗函数包括有汉明窗（Hamming）、汉宁窗（Hanning）、三角窗等。

有效带宽即信号带宽，是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。

一个信号时域的能力等于频域的能力，满足时域频域能力守恒，即为帕斯瓦尔定理Parseval Theorem。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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奇异函数 - 冲激信号

单位冲激函数δ的基本特性

  • $\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta\left(t-t_{0}\right) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty} x\left(t+t_{0}\right) \delta(t) \mathrm{d} t=x\left(t_{0}\right)$
  • $\delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t)$
  • $x(t) \delta\left(t-t_{0}\right)=x\left(t_{0}\right) \delta\left(t-t_{0}\right)$
  • $x(t) * \delta\left(t-t_{0}\right)=x\left(t-t_{0}\right)$
  • $\delta\left(t-t_{1}\right) * \delta\left(t-t_{2}\right)=\delta\left(t-t_{1}-t_{2}\right)$
  • $\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}=\delta(t)$

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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系统的频域分析

传输函数与系统函数

$H(e^{jω})$称为系统的传输函数（或系统频率响应函数），它表征系统的频率特性；
$H(z)$称为系统的系统函数，它表征系统的复频率特性。

如果$H(z)$的收敛域包含单位圆z=1，则$H(z)$与$H(e^{jω})$的关系如下所示：

$H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H(z)\right|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j\omega}}}$

参考

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离散时间信号

在对模拟信号与系统进行时域分析时，信号用连续时间函数表示，系统则用微分方程描述；
在进行频域分析时，往往采用傅里叶变换或拉普拉斯变换方法。

Z变换在离散时间信号与LTI系统分析中扮演的作用，
正如拉普拉斯变换在连续时间信号与LTI系统分析中扮演的作用一样。

单位采样序列

单位采样序列Unit Sample Sequence，表示为$\delta(n)$，定义如下所示：

$\delta(n)=\left{\begin{array}{ll}
{1,} & {n=0} \
{0,} & {n \neq 0}
\end{array}\right.$

即单位采样序列除了在n=0处的值为1外，其他处的值均为0，也称其为单位脉冲序列。

单位阶跃序列

单位阶跃序列Unit Step Sequence，表示为$u(n)$，定义如下所示：

$u(n)=\left{\begin{array}{ll}
{1,} & {n=0} \
{0,} & {n \neq 0}
\end{array}\right.$

$u(n-m)$在n>=m时值为1，取其他值时为0。

由上图可以知道，单位采样序列和单位阶跃序列的关系为：

$\delta(n)=u(n)-u(n-1)$

$u(n)=\sum_{l=0}^{\infty} \delta(n-l)$

矩形序列

只有其中一部分为1，其他部分全部为0，如下图所示：

指数序列

指数的底数在大于1时为发散序列，小于1时为收敛序列

正弦序列

复指数序列

$x(n)=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n}=\cos (\omega n)+\mathrm{i} \sin (\omega n)$

根据欧拉公式可知，复指数序列具有以2$\pi$为周期的周期性。

周期信号

如果对所有的n，存在一个最小的正整数N，使关系式x(n)=x(n+N)成立，则称x(n)是周期为N的周期序列（Periodic Sequence），周期信号也可记为。

序列的运算

包括：

  • 加法
  • 减法
  • 移位
  • 反转
  • 尺度变换

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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离散时间系统

设系统的输入为序列x(n)，经过运算或变换得到一个输出序列y(n)，这个运算或者变换就是离散时间系统（Discrete time System）。

齐次性

若
$x(t) -> y(t)$，
则
$kx(t) -> ky(t)$

叠加性

若
$x_1(t) -> y_1(t), x_1(t) -> y_1(t)$，
则
$x_1(t) + x_2(t) -> y_1(t) + y_2(t)$

线性系统

满足叠加性和齐次性。

若
$x_1(t) -> y_1(t), x_1(t) -> y_1(t)$，
则
$k_1x_1(t) + x2(t) -> y_1(t) + y_2(t)$

时不变系统

如果系统的输出相应随输入的移位而移位，即为时不变系统。

若
$x(t) -> y(t)$，
则
$x(t-t_0) -> y(t-t_0)$

因果性

指系统的响应不应该出现在激励之前，只对自变量是时间的系统有意义。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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信号与系统公式集锦

连续傅里叶变换 连续拉普拉斯变换（单边 ） 离散Z变换（单边） 离散傅里叶变换
时域到频域 时域到复频域 $s=\sigma + j \omega$ 离散化 $z = e^{s}$ 四种组合形式
$F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t$ $F(s)=\int_{0_{-}}^{\infty} x(t) e^{-s t} d t$ $X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n}$ $X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jwn}$
$ x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j w t} d \omega$ $x(t)=\frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma-j \infty}^{\sigma+j \infty} F(s) e^{s t} d s $ $x(n)=\frac{1}{2 \pi j} \oint X(z) z^{n-1} d z$ $x(n)=\frac{1}{2\pi} \int X(e^{jw}) e^{jwn} dw$
1 $2\pi \delta(w)$
冲激$\delta(t)$ 1
阶跃$u(t)$ $\frac{1}{s}$
$e^{jw_0t}$ $2\pi \delta(w-w_0)$
$e^{-jw_0t}$ $2\pi \delta(w+w_0)$
$e^{-at}$ $\frac{1}{s+a}$
$t^{n}$ $\frac{n!}{s^{n+1}}$
$sin(wt)$ $j\pi [\delta (w+w_0) - \delta (w-w_0)]$ $\frac{w}{s^{2}+w^{2}}$
$cos(wt)$ $\pi [\delta (w+w_0) + \delta (w-w_0)]$ $\frac{s}{s^{2}+w^{2}}$
$e^{-at}sin(wt)$ $\frac{w}{(s+a)^{2}+w^{2}}$
$e^{-at}cos(wt)$ $\frac{s+a}{(s+a)^{2}+w^{2}}$
$te^{-at}$ $\frac{1}{(s+a)^{2}}$
$t^{n}e^{-at}$ $\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$
$tsin(wt)$ $\frac{2ws}{(s^{2}+w^{2})^2}$
$tsin(wt)$ $\frac{s^2-w^2}{(s^{2}+w^{2})^2}$
时域卷积$f(t)\ast g(t)$ $F(w) \times G(w)$
时域乘积$f(t)\times g(t)$ $\frac{1}{2\pi}F(w) \times G(w)$

性质

性质 时域 傅里叶变换
对称性 $F(t)$ $2\pi f(-w)$

傅里叶变换的四种表示形式

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system

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信号的频谱分析

正交函数集合

傅里叶级数

傅里叶变换

傅里叶变换：

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t$

傅里叶反变换：

$f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega$

交换存在的条件：

  • 绝对可积
  • 极值点有有限个
  • 间断点有限

典型信号的傅里叶变换

傅里叶变换的性质

周期信号的傅里叶变换

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LTI系统时域分析

  • 用脉冲表示离散时间信号
  • 离散时间LTI系统对单位脉冲$\delta[n]$的响应$h(n)$称为离散时间LTI系统的单位脉冲响应。

时间阈分析方法直接分析时间变量的函数，研究系统的时间相应特性，或者成为时域特性。

系统分析的一般过程：

通过实际物理系统或者系统框图构建模型，求解该模型，并进行分析。

方程求解

经典求解

  • 微分方程 $\sum_{k=0}^{N} a_{k} \frac{\mathrm{d}^{k} y(t)}{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M} b_{k} \frac{\mathrm{d}^{k} x(t)}{\mathrm{d} t^{k}}$
    • 电路系统
    • 力学系统
    • 系统框图
  • 差分方程 $\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k]$
    • 微分方程离散化
    • 物理系统建立
    • 系统框图建立

解的分析

  • 自由(齐次解，反映系统本身的特性)、强迫（特解，对输入信号的反应）
  • 稳态（时间无限大时，保留下来的部分）、瞬态（时间无限大时，趋于0的部分）
  • 零状态、零输入
    • 零状态：系统在起始条件为零的情况下的系统对于输出信号的输出响应
    • 零输入：系统在没有外部输入信号的情况下，由内部起始条件所产生的响应

卷积和卷积和

使用卷积的前提，系统为LTI，并且为零状态响应。

这里还设计到相关的概念，如果是复数，为第二个函数的共轭，所以不具备交换律。

特性

  • 交换律
  • 分配律
  • 结合律
  • 积分 $\int_{-\infty}^{t}[x(\tau) * h(\tau)] \mathrm{d} \tau=x(t) * \int_{-\infty}^{t} h(\tau) \mathrm{d} \tau=\left[\int_{-\infty}^{t} x(\tau) \mathrm{d} \tau\right] * h(t)$
  • 微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[x(t) * h(t)]=x(t) * \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} h(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x(t) * h(t)$
  • 延时计算 若$x(t) * h(t) = y(t)$， 则$x(t-t_1) * h(t-t_2) = y(t-t_1-t_2)$

应用

滤波

信号中的噪声往往造成信号在真实值附近的快速拨动，可以通过对该时刻附近的取值进行加权平均达到去噪的目的。
这个过程可以看做将信号与平滑滤波函数的卷积过程。

参考

代码参考 https://www.github.com/shaoguangleo/signal_and_system