傅里叶变换
在对信号、系统进行频域分析过程中，傅里叶变换起着非常重要的作用。
首先可以通过对信号的频谱分析，来掌握信号的特征，以进一步确定处理信号的方法，从而实现信号的检测和估计，在通信、语音与图像处理、雷达等工程领域得到广泛的应用；
另外还可以通过对系统单位脉冲响应的频谱分析得到系统的频率响应，从而得到输入信号通过系统后的幅度和相位的变化，从而确定系统的性质，在滤波器设计有重要的应用。
非周期连续时间信号傅里叶变换
傅里叶变换为：
$X_{\mathrm{a}}(\mathrm{j} \Omega)=\sum^{+\infty} x_{\mathrm{a}}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} t$
傅里叶逆变换为：
$x_{\mathrm{a}}(t)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{-\infty}^{+\infty} X_{\mathrm{a}}(j \Omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Omega t} \mathrm{d} \Omega$
周期连续时间信号傅里叶级数
傅里叶级数：
$X\left(\mathrm{j} k \Omega_{0}\right)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \tilde{x}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k \Omega_{0} t} \mathrm{d} t$
傅里叶逆级数：
$\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j k \Omega_{0}\right) e^{\mathrm{j} k \Omega_{0} t}$
非周期序列的离散时间傅里叶变换
傅里叶变换：
$X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}$
傅里叶逆变换：
$x(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{d} \omega$
周期序列的傅里叶级数
对一个周期序列而言，它的一个周期的信号其实包含着原始周期序列的全部信息，也就是只要研究一个周期内的信号的信号，整个信号的性质也就知道了。
$\begin{aligned}
&\tilde{X}(k)=\operatorname{DFS}[\tilde{x}(n)]=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
&\tilde{x}(n)=\operatorname{IDFS}[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde{X}(k) \mathrm{e}^{j \frac{2 \pi}{N} k n}
\end{aligned}$
频域混叠现象
对实际信号进行采样时，为了使采样信号不发生频域混叠现象，要求采样满足时域采样定理，即采样频率 fs(=1 T)大于或等于信号所含最高频率 fh的2倍
频谱泄露
由于信号本身无限长，因此其理想采样信号也为无限长序列，故需要对其进行截断处理，即相当于将理想采样序列与矩形序列相乘，其对应的频域应为两序列傅里叶变换的卷积。
对信号进行截断处理，等价于在一个有限长矩形窗内看原始信号，因此称截断处理为加窗处理，这种处理不可避免地会产生频谱泄漏现象。为减小频谱泄漏，应尽可能减小旁瓣，为此需要寻找其他的具有较小旁瓣的窗函数来替代矩形序列（或称为矩形窗），其中，可用的窗函数包括有汉明窗（Hamming）、汉宁窗（Hanning）、三角窗等。
有效带宽即信号带宽，是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。
一个信号时域的能力等于频域的能力，满足时域频域能力守恒，即为帕斯瓦尔定理Parseval Theorem。
