LTI系统时域分析
- 用脉冲表示离散时间信号
- 离散时间LTI系统对单位脉冲$\delta[n]$的响应$h(n)$称为离散时间LTI系统的单位脉冲响应。
时间阈分析方法直接分析时间变量的函数，研究系统的时间相应特性，或者成为时域特性。
系统分析的一般过程：
通过实际物理系统或者系统框图构建模型，求解该模型，并进行分析。
方程求解
经典求解
- 微分方程 $\sum_{k=0}^{N} a_{k} \frac{\mathrm{d}^{k} y(t)}{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M} b_{k} \frac{\mathrm{d}^{k} x(t)}{\mathrm{d} t^{k}}$
- 电路系统
- 力学系统
- 系统框图
- 差分方程 $\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k]$
- 微分方程离散化
- 物理系统建立
- 系统框图建立
解的分析
- 自由(齐次解，反映系统本身的特性)、强迫（特解，对输入信号的反应）
- 稳态（时间无限大时，保留下来的部分）、瞬态（时间无限大时，趋于0的部分）
- 零状态、零输入
- 零状态：系统在起始条件为零的情况下的系统对于输出信号的输出响应
- 零输入：系统在没有外部输入信号的情况下，由内部起始条件所产生的响应
卷积和卷积和
使用卷积的前提，系统为LTI，并且为零状态响应。
这里还设计到相关的概念，如果是复数，为第二个函数的共轭，所以不具备交换律。
特性
- 交换律
- 分配律
- 结合律
- 积分 $\int_{-\infty}^{t}[x(\tau) * h(\tau)] \mathrm{d} \tau=x(t) * \int_{-\infty}^{t} h(\tau) \mathrm{d} \tau=\left[\int_{-\infty}^{t} x(\tau) \mathrm{d} \tau\right] * h(t)$
- 微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[x(t) * h(t)]=x(t) * \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} h(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x(t) * h(t)$
- 延时计算 若$x(t) * h(t) = y(t)$， 则$x(t-t_1) * h(t-t_2) = y(t-t_1-t_2)$
应用
滤波
信号中的噪声往往造成信号在真实值附近的快速拨动，可以通过对该时刻附近的取值进行加权平均达到去噪的目的。
这个过程可以看做将信号与平滑滤波函数的卷积过程。
